统计与概率基本公式

对于事件A和B,

  • \(P(A)\) 表示事件A发生的概率,取值范围为0到1。0表示不事件A完全不可能发生,1表示事件A一定发生。
  • \(P(A \cup B)\) 表示事件A或者B发生的概率。
  • \(P(A \cap B)\) 表示事件A与B均发生的概率。A与B可以在同时发生,也可以在不同时间发生。如果事件A与B不可能都出现,则值为0,此时称A与B为互斥事件。
  • \(P(A | B)\) 表示事件B出现时,事件A发生的概率。

公式1: A或B发生的概率

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

公式2: 条件概率

\[ P(A | B) = \dfrac{ P(A \cap B) } { P(B) } \] \[ P(A \cap B) = P(A | B) { P(B) } = P(B | A) { P(A) } \]

公式3: 独立事件

对于事件A和B,若满足下面的公式,则认为这两个事件独立:

\[ P(A \cap B) = P(A) { P(B) } \]

利用公式2容易得出:

\[ P(A | B) = \dfrac{ P(A \cap B) } { P(B) } = \dfrac{P(A)P(B)}{P(B)} = P(A) \]

公式4: 贝叶斯定理

使用公式2可以得出如下结果,这就是贝叶斯定理:

\[ P(A | B) = \dfrac{ P(B|A) P(A)} { P(B) } \]

转换后得到

\[ P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap {} \overline A) \]

\[ P(A | B) = \dfrac{ P(B|A) P(A)} { P(B \cap A) + P(B \cap {} \overline A) } \]

当事件A由\(A_1\), \(A_2\), ... 等N个互斥事件组成时,由上面的公式可推导出:

\[ P(A_i | B) = \dfrac{ P(B|A) P(A_i)} {{{‎‎\sum}}_{i=1}^{N}{P(B \cap A_i) }‎ } \]

公式5: 期望值

\(E(X)\), \(E(Y)\) 分别表示两个概率空间的期望值。

\[ E(XY) = E(X) E(Y) \]

期望值的方差满足如下公式:

\[ V(aX + bY) = a^2 V(x) + b^2 V(Y) \]